从孙老师那里搞到一个好题，请各位老师劳神了，呵呵！

题目：（√17＋4）2n+1　（其中n∈N）的整数部分记为M，小数部分记为m，求m(M+m)的值.

补充：顺便问一个，什么样的题才能叫做好题呢？

解题思路：
1）（√17＋4）2n+1　＝m＋M
只要知道M与m中的一个就可以了。
2）可先对M或m的结果进行猜测
当n＝0时，M＝8，m＝√17－4；
当n＝1时，M＝536，m＝（√17－4）3；
猜测m＝（√17－4）2n+1.
3）证明上述猜想
证明时可选择比较易于下手的整数部分作为突破口

解：
设x＝√17＋4，y＝√17－4.
则　x－y＝8，xy＝1，x2＋y2＝66
下面用数学归纳法证明x2n＋1－y2n＋1是整数：
1）当n＝0时，x－y＝8，是整数；
　当n＝1时，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy+y2）＝8×（66＋1）
所以，x3－y3也是整数；

2）若当n＝k－1和n＝k时，x2n＋1－y2n＋1都是整数，
即x2k－1－y2k－1和x2k＋1－y2k＋1都是整数，则当n＝k＋1时，
x2n＋1－y2n＋1
＝x2k＋3－y2k＋3
＝（x2＋y2）（x2k＋1－y2k＋1）＋x2y2k＋1－y2x2k＋1
＝（x2＋y2）（x2k＋1－y2k＋1）－x2y2（x2k－1－y2k－1）
＝66（x2k＋1－y2k＋1）－（x2k－1－y2k－1）
所以，当n＝k＋1时，x2n＋1－y2n＋1也是整数.

综合1）、2）可得，当n∈N时，x2n＋1－y2n＋1是整数.

∵4＜√17＜5，∴0＜y＜1,∴0＜y2n＋1＜1；
∵x＝√17＋4，∴x2n＋1＝（√17＋4）2n＋1，
又∵x2n＋1－y2n＋1是整数，0＜y2n＋1＜1，
∴M＝x2n＋1－y2n＋1，m＝y2n＋1.

∴m（M＋m）＝y2n＋1x2n＋1＝（xy）2n＋1＝12n＋1＝1

真棒!
鞍山退休陈老师.

受到陈老师的夸奖，俺很高兴。
哈哈哈！
就象听说八路军抢了鬼子的粮一样高兴。

ok 谢谢了裴老师，

客气！

上面的都是在职老师呀！！题目和解法都很精彩。首先在这里先谢谢两位老师。
接下来说说学生对这题的看法~也给老师们点意见。也不知道过了这么久老师们还会不会回过头来看这贴。
看了题，首先想到的就是怎么样将整数与小数分开，仔细想想发现，小数的N次方永远是小数，所以 m=(√17-4)2n+1
M+m就是小数部分加整数部分，不就是原式吗？所以m+M=(√17+4)2n+1
m(M+m)=(√17+4)2n+1(√17-4)2n+1=(√17+4)(√17-4)2n+1=12n+1=1

呵呵！这么长时间了，感谢奚教师还在关注本贴并参与讨论。其实时间也不很长，几年前的帖子有时我也翻翻。很多都是有价值的。

关于奚教师提出的问题，我是这样理解的。小数部分的N次方永远是小数，没错。但题中的m并不是小数部分的N次方，而是原式的小数部分，它们不是一个概念。本题中这两个量刚好相等，但这也正是本题首先要证明的，不可回避。

呵呵~我理解您的意思了，其实数学仔细去想会联想出很多问题。就比如此题就让我想到了一个问题。如果A是整数，a是小数，当然都是正的啦。那么A+a的N次方的小数是什么呢？在什么情况下是等于a的N次方的呢？


不知道裴老师会不会觉得我想太多啦？呵呵...其实有时候我自己都这么觉得...

还是让我来证明m=(√17-4)2n+1吧！
很明显(√17-4)2n+1小于1，所以它只有小数部分，设它的小数部分为k。
这里要用到高中时的二项式定理:
因为(√17+4)2n+1-(√17-4)2n+1=整数（这里大家自己去展开，展开相减以后会发现√17的二次项都为偶数项），即M+m-k=整数，即m=k。证毕。

回复9楼：
奚教师的想法很好，我很受启发。
对于本题，把17换成18、19、……、24都没问题，呵呵！有意思。
奚教师不是想的太多啦，而是独具慧心呀！

回复10楼：
洪老师用二项式定理直接把两个幂式展开运算，公式娴熟，算功精湛啊！
我早已把公式都不记得了，呵呵！

千万不要把我开出教师队伍哟！　

大家好啊！
很久都没有看见这样的题目和解答方法了，看完全过程的时候有一种久违的感觉漫多全身啊！让我会议起了我在高中的日子！